蒙提霍爾問題: 一種直觀的想法

蒙提霍爾問題，亦稱為蒙特霍問題或三門問題（英文：Monty Hall problem），是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。

這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車或者是獎品，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車或獎品，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊或者是後面沒有任何東西。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，知道門後情形的節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？

(以上敘述和圖片都是來自維基百科：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C)

答案是： 會。

但是這樣的解答似乎背離直覺，在這裡提供一種值觀的想法。

我們先把三扇門分成兩群，其中，一群含有一扇門，另一群有兩扇門。考慮到汽車出現的機率是均勻分布的，且三扇門都長得一模一樣，因此，三扇門後有汽車的機率都是1/3。

同時，又因為三扇門都一樣，就假設當進行猜測時，就進行分群，一群是所猜測的門，出現汽車機率是1/3，另一群是沒有猜測的門，出現汽車機率是2/3。

這時(先不要開門)，主持人跟你說，它可以提供一個額外服務：假如你猜那有兩個門的一群，會幫你排除掉猜錯在兩個門中猜錯的可能性，也就是說，只要車子在那兩個門之中，就算你贏。

考慮到主持人沒有任何偏差(不會騙你)，且車子出現在三個們的機率都是1/3，理性上來說，你應該選擇有兩個門的群集，其機率為2/3，而不該選擇一個門的群集，其機率為1/3。

相較於原本的問題，這個轉化的問題指變化在主持人的開門行動，原本的問題藉由開門這個特定動作，把該問題切割成看似兩個獨立事件：在三個門中選擇，以及在兩個門中選擇。但是，事實上會等同於我在此問題中對主持人的行為描述。只要沒有開門的特定動作，就比較容易理解成在兩群集中選擇，也比較容易用直覺理解。

在wiki中有下列文字，也可以幫助理解該問題：
三門問題是多門問題里最難的情況。如果把三門變成千門，參賽者第一次就選中的機率就是1/1000，參賽者就會清楚自己是在猜，而不是如同三門的時候1/3的機率認為自己是對的。這樣，當主持人打開剩下999扇門中的998扇時，該如何選擇，認真思考就會比三門的時候清晰很多。

當然, wiki上也有詳細的解法，用機率角度敘述。但是，我個人認為此題的陷阱，或是悖論在於開門這個特定動作，讓人產生兩次獨立事件的幻覺，如果要提供直觀的想法，必須提出一個等價而有直觀解答的問題，並說明兩個問題為等價，才容易理解。